FACTORIZACION CASOS ESPECIALES

Factorización por Agrupación

Objetivos:

1. Factorizar expresiones algebraicas con más de tres términos.
2. Agrupar las expresiones algebraicas en dos expresiones sencillas con un factor común.
3. Aplicar las técnicas de factorización de los casos especiales.

Introducción

Esta técnica nos permite factorizar expresiones que tienen cuatro términos o más aplicando la agrupación de términos en dos o más grupos. Luego se factoriza cada grupo, con el objetivo de encontrar un factor común en cada uno de ellos que se pueda factorizar. Finalmente se utilizan los criterios de factorización de bimonios y trinomios, para terminar el proceso.

Ejemplos

Ejemplo 1. Factorice completamente$${}^{}$$x3 -8 x2 +2x-16

Solución 
Paso 1. Agrupar los términos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo. En este caso, agrupar el primero con el segundo término y el tercero con el cuarto término$$$$( x3 -8 x2 )+(2x-16)

Paso 2. En cada Grupo, factorizar la expresión.

Expresion	Expresion Factorizada
$x^3$ -8 x2	$x^2$ (x-8)
$8$ x -16	$2$ (x-8)

Paso 3. Usar el factor común en las expresiones factorizadas de la tabla anterior para factorizar la expresión.$$<span\; style="font-family:\; "arial"\; ,\; "helvetica"\; ,\; sans-serif;">(</span>$$ x 3 -8 x 2 ) +(2x-16) = x2 (x-8) + 2(x-8) = (x-8) ( x 2 + 2)
El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles. 

Ejemplo 2. Factorice completamente$$$$6 x3 -9 x2 -54x+81

Solución 
Paso 1. Agrupar los términos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo. En este caso, agrupar el primero con el segundo término y el tercero con el cuarto término. $(6$ x3 -9 x2 )+(-54x+81) 

Paso 2. En cada Grupo, factorizar la expresión.

Expresion	Expresion Factorizada
$6$ x3 -9 x2	$3$ x2 (2x-3)
$-54$ x +81	$-27$ ( 2x-3)

Paso 3. Usar el factor común en las expresiones factorizadas de la tabla anterior para factorizar la expresión.$$$$(6 x3 - 9 x 2 )+(-54x+81) = 3x2 (2x-3) - 27(2x-3) = (2x-3) ( 3 x 2 - 27)
El proceso continúa, porque el segundo factor se puede factorizar. 

Paso 4. Factorizar el segundo factor.$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; "arial"\; ,\; "helvetica"\; ,\; sans-serif;">3</span>}$$ x2 -27 = 3 ( x 2 -9) Differencia De Cuadros = 3(x-3)(x+3)

Por lo tanto:$$$$6 x3 -18 x2 -54x+81=3(x-3)(x+3)(2x-3)

Ejemplo 3. Factorice completamente$${}^{}$$x2 +xy+xz+yz

Solución 
Paso 1. Agrupar los términos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo. En este caso, agrupar el primero con el segundo término y el tercero con el cuarto término.$$$$( x2 +xy)+(xz+yz)

Paso 2. En cada Grupo, factorizar la expresión.

Expresion	Expresion Factorizada
$x^2$ +xy	$x$ (x+y)
$$xz+yz	$z$ ( x+y)

Paso 3. Usar el factor común en las expresiones factorizadas de la tabla anterior para factorizar la expresión.$$<span\; style="font-family:\; "arial"\; ,\; "helvetica"\; ,\; sans-serif;">(</span>$$ x2 + xy) + (xz+yz) = x(x+y) + z(x+y) = (x+y)(x+z)
El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles. 

Ejemplo 4. Factorice completamente$${}^{}$$x2 +xy+3x+2y+2

Solución 
Paso 1. Agrupar los términos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo. En este caso, agrupar el primero, el tércero y el quinto término juntos y agrupar el segundo con el cuarto término.$$$$( x2 +3x+2)+(xy+2y)

Paso 2. En cada Grupo, factorizar la expresión.

Expresion	Expresion Factorizada
$x^2$ +3x+2	$(x+1)$ (x+2)
$$xy+2y	$y$ ( x+2)

Paso 3. Usar el factor común en las expresiones factorizadas de la tabla anterior para factorizar la expresión.$$<span\; style="font-family:\; "arial"\; ,\; "helvetica"\; ,\; sans-serif;">(</span>$$ x2 +3x+2)+(xy+2y) = (x+1) (x+2) + y(x+2) = (x+2)(x+1+y)
El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles. 

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer    términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada  exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas. x2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto. Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo número  (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados. Ejemplo: m4 + 6m2 + 25. Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2 Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y después, como una diferencia de cuadrados. Para seguir comprendiendo mejor el tema, las invito a ver los siguientes videos. EJERCICIO RESUELTO Factorizar x4 + 3x2 + 4 SOLUCIÓN x4 + 3x2 + 4 Raíz cuadrada de x4 es x2 Raíz cuadrada de 4 es 2 Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2 )(2)                                                                                               = 4x2 El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces: x4 + 3x2 + 4 = x4 + 3x2 + 4         +  x2         - x2  Se suma y se resta x2 ---------------------------------------- =(x4 + 4x2 + 4) - x2   Se asocia convenientemente =(x2 + 2)2 - x2             Se factoriza el trinomio cuadrado                                                perfecto =[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x]  Se factoriza la diferencia de                                                cuadrados         =(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación  =(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada                                           factor.       Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2) FACTORIZACION POR EVALUACION POLINOMIOS: REGLA DE RUFFINI En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a) Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”. Ejemplo:              x4+6x3+x2-24x+16 El posible valor de “a”  deber ser divisor del término independiente es este caso 16 16 tiene por divisor 1,2,3,4,8,16. cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16. Probamos con 2:               Si  x4+6x3+x2-24x+16,                       Sus coeficientes en orden son: 1.    Bajas el primer  cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso                   1             6             1             -24          16           2                                 2             16           34           20                           1             8             17           10           36           NO 2.   Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes     1             6             1             -24          16           -4                                 -4            -8            28           -16 3.  Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso  contrario busca otro divisor y vuelve a intentar                   1             2             -7            4             0             SI  Coeficientes resultantes (x3+2x2-7x+4) (x+4) 4.  Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario En  nuestro caso nos salió para   -4 entonces el factor es (x+4)     Volvemos a dividir:                 1             2             -7            4             1                                 1             3             -4                 1             3             -4            0             SI 5.     El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los coeficientes resultantes.   (x2+3x-4) (x-1) (x+4) (x+4) (x-1) (x-1) (x+4)                 = (x+4)2 (x-1)2 Comprobación como nos dio cero cuando a=-4 reemplazamos en el polinomio original. =             x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16 =             (-4)4 + 6(-4) + (-4)2 - 24(-4) + 16 =             256-384+16+96+16 =             0             es lo que debe suceder Ejemplo2.            x3-3x-2                                  Debes cuidar los espacios correspondientes de los exponentes en este caso no existe x2 en su lugar ponemos cero                     1             0             -3            -2            1                                  1             1             -2                    1             1             -2            -4            NO                  1             0             -3            -2            -1                                 -1            +1           +2                 1             -1            -1            0             SI                                (x2-x-2) (X-1)                       El trinomio es de la 2da. Forma                                (x-2) (x+1) (x-1) Comprobación: =             x3-3x-2  =             (-1)3 – 3(-1) – 2 =             -1 + 3 -2 =             0