DESIGUALDADES CUADRATICAS

Una inecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax² + bx + c > 0, o ax² + bx + c < 0, o tambien si se manejan las desigualdades mayor igual o menor igual, donde a, b,y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x² - 9 < 0; x² - x - 12 > 0; 2x² - 3x - 4  0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x² en la inecuación. El método apropiado para resolver una inecuación cuadrática es el mismo para resolver cualquier inecuación de grado 2 o superior: llevar una lado de la inecuación a cero, teniendo en cuenta que el coeficiente principal debe ser positivo; después de ello se factoriza el polinomio y se observa el comportamiento de los signos, restringiendo la solución al o los intervalos o valores que cumplen la inecuación.

SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN CUADRÁTICA

♣ -12>x-x² => x²-x-12>0 => (x-4)(x+3)>0 Un producto es POSITIVO si los factores son positivos o si los dos son negativos, observamos entonces que:

x-4>0 SI x>4 Y

x+3>0 SI x>-3

Se tiene entonces que el polinomio es POSITIVO en el intervalo . Observemos también que:

x-4<0 SI x<4 Y

x+3<0 SI x<-3

Se tiene entonces que el polinomio es POSITIVO también en el intervalo . Por tanto, la solución de la ecuación -12>x-x² es:

Un polinomio cuadrático puede tener raíces imaginarias; las raíces de 2x²-3x+4 se identifican imaginarias porque el radicando es negativo:

De esta manera, si una inecuación se reduce a un polinomio cuadrático que tiene raíces imaginarias, se tiene que el polinomio siempre será positivo; es decir que

2x²-3x+4>0 todo valor real cumple la inecuación, la solución es el conjunto de los números reales.

2x²-3x+40 todo valor real cumple la inecuación, la solución es el conjunto de los números reales.

2x²-3x+4<0 no existe valor real que cumpla la inecuación. La solución es vacía.

2x²-3x+40 no existe valor real que cumpla la inecuación. La solución es vacía.