DIVISION SINTETICA

La división sintética es un procedimiento por medio del cual se puede dividir un polinomio de solo una indeterminada, de orden n, entre un polinomio de orden 1 de la forma x - a donde x es la indeterminada y a es un número. Este procedimiento es puramente numérico (no se requiere manejo de literales) y resulta más facil que la división de polinomios convencional. Después de realizada la división se obtiene como cociente un polinomio de orden n - 1 y el residuo que es un número.

Para ilustrar el procedimiento diviremos el polinomio 2x⁴ - 3x³ - 15x² - 10x + 6 entre el polinomio x - 3.

1. Para comenzar se obtienen los coeficientes del polinomio en orden decreciente y se escriben horizontalmente separados por espacios. Si falta el término de correspondiente a algún orden, se coloca cero en su lugar. Se escribe a la izquierda separado por una línea vertical el valor de a (que es el término independiente del divisor). Se dibuja una línea horizontal por debajo de a. Con esto queda planteada la división sintética, como se muestra en la figura.




2. El primer término del polinomio se escribe tal cual debajo de la línea horizontal.




3. Se multiplica el divisor por el número que se acaba de escribir debajo de línea horizontal. El producto se escribe arriba de la línea horizontal en la fila correspondiente al orden siguiente.




4. Se suma el coeficiente del polinomio que está justo arriba del número obtenido en el paso anterior a ese número. El resultado se escribe debajo de la línea horizontal.




5. Se repiten los pasos 3 y 4 hasta terminar escribiendo debajo de la línea horizontal la suma correspondiente al último orden.




6. Se interpreta el resultado de la división. El último número es el residuo y los números anteriores son los coeficientes del cociente de ordenn - 1.



Cociente: 2x³ + 3x² - 6x - 28.
Residuo: - 78.

2x⁴ - 3x³ - 15x² - 10x + 6 = (x - 3) (2x³ + 3x² - 6x - 28) - 78

Se recomienda al lector comprobar haciendo la división convencional de polinomios y realizando el producto y la suma para verificar la igualdad escrita arriba.

Ejemplo. Dividir el polinomio x⁴ - 11x³ + 26x² + 44x - 120 entre el polinomio x + 2.

Los coeficientes del polinomio son [1 -11 26 44 120] y a = −2 porque x + 2 = x − (−2) = x − a. La división sintética queda así:

Cociente: x³ - 13x² + 52x - 60.
Residuo: 0.
la división es exacta, por eso el residuo es cero.

Ejemplo. Dividir el polinomio x³ + 1 entre el polinomio x − 1.

Los coeficientes del polinomio son [1 0 0 1] (observar como se insertan ceros en las posiciones de los términos con x² y x) y a = 1. La división sintética queda así:

Cociente: x² + x + 1.
Residuo: 2.