PORTAFOLIO PRECALCULO: FACTORIZACION

FACTORIZACION

Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos:

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.

Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.

Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.

La parte numérica de un término se denomina coeficiente.

Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.

Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.

Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.

En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax³ + bx² + cx, el polinomio es de tercer grado.

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.

Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.

Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la forma ax² + bx + c = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.

Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a³

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.

Descomposición de números naturales en sus factores primos

Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas:

20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5

En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.

Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.

En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.

Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.

Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 2² • 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.

Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denominaprimo.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.

Sin embargo si efectúo