FUNCION INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, .

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

Ejemplos

Calcular la función inversa de:

1. 

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

2. 

3. 

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Dominio

D(f + g) = D f  D g

Ejemplo

D_f =  − {2}D_g = [0, ∞)

D(f + g) = [0, 2)  (2, ∞)

Propiedades

Asociativa:

f(x) + [g(x) + h(x)] = [f(x) + g(x)] + h(x)

Conmutativa:

f(x) + g(x) = g(x) + f(x)

Elemento neutro:

La función constante: f(x) = 0.

Elemento simétrico:

La función opuesta: −f(x).

Resta de funciones

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

Dominio

D(f − g) = D f  D g

D(f + g) = [0, 2)  (2, ∞)

Producto de funciones

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

Dominio

D(f · g) = D f  D g

D(f + g) = [0, 2)  (2, ∞)

Propiedades

Asociativa:

f(x) · [g(x) · h(x)] = [f(x) · g(x)] · h(x)

Conmutativa:

f(x) · g(x) = g(x) · f(x)

Elemento neutro:

La función constante: f(x) = 1.

Distributiva:

f(x) · [g(x) + h(x)] = [f(x) · g(x)] + [f(x) · h(x)]

División de funciones

(f / g)(x) = f(x) / g(x)

Dominio

D(f + g) =(D f  D g) − {x   / g(x) = 0}

D f =  − {2}D g = [0, ∞) g(x) ≠ 0

D(f + g) = (0, 2)  (2, ∞)

OPERACIONES CON FUNCIONES

VIDEO DE UNA FUNCION INVERSA

DESPEJE DE ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2    x = 1

Elementos de una ecuación

Miembros

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Términos

Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros de una ecuación.

Incógnitas

La incógnita de una ecuación es el valor desconocido que se pretende determinar.

La incógnita de una ecuación se suele expresar con la letra x.

Soluciones

Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las letras para que la igualdadsea cierta.

2x − 3 = 3x + 2   x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2   

− 10 −3 = −15 + 2     −13 = −13

Grado

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado son las expresiones de la forma:

ax² + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado es incompleta si alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.

ax² = 0

La solución es x = 0.

ax² + bx = 0

Extraemos factor común x:

ax² + c = 0

Despejamos: